やさしい微分積分

〔前のページ〕 〔次のページ〕 《連続関数》 　微分積分の命綱を握っているのが連続関数の概念です。 【１つながりに連続する関数】 　微分積分で扱う関数は、均質な基本的な要素の関数を単位にして考える。具体的には、１つながりに連続する関数を単位にして考える。その １つながりに連続する関数が、正しく定義された連続関数である。 連続関数は、グラフが途切れることなくつながっている関数です。 【区間とは】 　関数のグラフが途切れる、すなわグラフがちちぎれる場合は、下図のように、関数 f(x) のy=f(x) のグラフのｙ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と、 下図のように、変数ｘのｘ軸の方向にすき間を空けてちぎれる場合と の２通りのちぎれ方がある。 　 区間とは、ｘ軸上で実数がすき間なくつまったｘ軸上での１つの連結領域のことを区間と呼ぶ。 　上図の２通りのちぎれ方をともに判定できるようにするために、ｘ軸の数直線上の実数がすき間なくつまった区間内の点毎に、ちぎれているか、連続であるかを把握する。 　区間内の点とはｘ軸の数直線上の点である。 　 　 連続関数の定義は、1817年にBolzanoが中間値の定理を証明する前提条件に定義した連続関数の定義により、歴史上初めて連続関数が正しく定義された（その定義は関数の連続性を区間で定義するものである）。 　日本の大学数学では、 1817年にBolzanoが定義した連続関数を、「区間で連続な関数」と呼んでいる。 　関数の連続性に係る定理には、必ず「区間で連続な関数」という言葉が使われる。 　関数f(x)の連続性は、x軸でのxの点毎に、各点の近傍に微小区間を定めてその微小区間で関数の連続性を判定する。 　更に、ｘ軸での所定の幅の広がりがある区間において、 その区間内の全ての実数のｘの点で関数f(x)が連続である場合に、その区間で定義された関数f(x)が連続関数であるという。 　下図の３つの区間で定義された３つの関数F1(x), F2(x), ...

〔前のページ〕 〔次のページ〕 〔関数とは何か〕 　微分とは何かを理解するために、先ずは「関数」について説明します。 《1.1 関数の定義(definition of function)》 　2 つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます．ここでは，実数の集合を考えます． Rを実数全体の集合とします． ある実数の集合D に属する各数x に対して，実数y が1 つ定まるような規則 f を、 D からR への1 価関数(single-valued function)，または、１変数（の１価）関数、または単に関数といいます． すなわち、「ある装置にｘを入力すると、それに応じた数ｙが出力されるとき、そのｙ＝ｆ(x)を与える装置ｆ( )を関数と呼びます」。 「関数」の定義では、正しくは、所定の関数を定める（所定の関数を定義する）場合に、関数のグラフの形（演算）を自由に定めるのと同時に、装置 f( ) のかっこの中に入れられる数が何と何であるかを定めることで関数が定まる。 　関数ｆ（ｘ）＝ｘ ２ というように、数ｘを使った演算式によって、関数 f( ) が出力する数値を与える演算を定めることが必要である。それだけではなく、その関数 f( ) のかっこの中に入れることができる数ｘが何と何であるかを定めることで関数が定まる。 《独立変数ｘと従属変数ｙ 》 　ｙ＝ｆ(x) 　というように、関数 f( ) に入力する数ｘを 「独立変数」 と呼び、関数 f( ) から出力される数ｙを 「従属変数」 と呼ぶ。 （定義域が異なる関数は、異なる関数） 　関数f( ) のかっこの中に入れられる数ｘが何と何であるかを定める。そうして定めた数ｘの集合を、関数 f( ) の 「定義域」 と呼ぶ。 　関数 f( ) の出力する数ｙの集合を、関数 f( ) の 「値域」 と呼ぶ。 　関数は独立変数ｘの定義域の集合の要素の各数に対して関数値ｆ（ｘ）を対応付けさせる規則の事です。そのため、関数 f( ) を独立変数ｘで演算する演算の式が同じであっても、定義域が異なれば異なる関数です。つまり、関数 f( ) が、独立変数ｘの定義域の数だけ複数の関数が作れる。 《グラ...