微分積分を考える根底

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《積分の概念の種》
　以下の問題を考えます。
【問題１】 
　なぜ、三角錐の体積Ｖは、
体積Ｖ＝底面積Ｓ×高さｈ×（１／３）
なのか。
　この公式は、何とか覚えられたと思いますが、
もっと、すっきり覚える方法が無いか？
と考えたことがあると思います。
　この問題は、以下の様に分析することができます。

この解に法則性があるように思われますが、
この問題は難しいので、これを解くための準備として、
この問題をもっとやさしくした以下の問題を先に解くことにします。

【問題２】
　なぜ、三角形の面積Ｓは、Ｓ＝底辺Ｌ×高さｈ×（１／２）
なのか。

この問題ならば、上のような場合を考えて、解くためのヒントを見つけることができます。

この問題２で得られたヒントを拡張して、
以下の様に問題１を解析します。

【問題１（再）】

これは、以下のグラフの面積を分割して計算することに対応すると考えることができます。

（この計算で用いた２乗の数列の和の式はここをクリックした先のページにあります）

　このように問題を解析することで、後は、この２次関数のグラフの面積を与える法則性を把握すれば、この種の問題が自由に解けるようになることが理解できます。

　この様に、分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が積分という考え方です。

　もう１つ、分割した要素の総計を求める例を追加しておきます。
《グラフの微小増分の総和がグラフの高さになる》

上の図のように、グラフの傾きにΔｘを掛け算した要素は、グラフの高さの増分Δｙです。
上図のように、
グラフの高さの増分Δｙの総計＝グラフの高さｙ
になります。
（グラフの微小部分の総和おわり）
 
《 θ と、tanθ との大小関係》
　分割した要素の総和を考える応用例として、下図の点Ａまでの円弧の長さ θ と、長さｔａｎθ の点Ｔまでの垂直線の長さの大小関係を、
下図の平行線で分割した微小部分の大小関係から求めます。平行線で円弧θを切った部分の長さをΔθと表します。平行線で(1,0)の点から点Tまでの、長さがtanθの垂直な線分を切った部分の長さをΔ(tanθ)と表します。

円弧 θ を平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐ_θ の長さよりも、垂直な線分ｔａｎθ を平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐ_ｔ の長さの方が長い。そのため、円弧θを平行線で分割した微小ベクトルの長さΔθよりも、垂直な線分tanθを平行線で分割した微小ベクトルの長さΔ(tanθ)の方が長い。
その個々の微小ベクトルの長さの総和（積分）を考えることで、
θ ＜ｔａｎθ という大小関係が分かりました。
（大小関係の証明おわり）

（積分の特徴）
　積分とは、連続した階段を登ることに似ています。
先ず、階段の１歩１歩の段差は有限でなければならない。
無限の段差の階段は登れないので、それは積分できない。
積分は有限の段差の階段でつながっている。
ある点からある点まで積分できたならば、必ず、その点間を有限の段差の階段でつなぐ道が通じている。

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