関数のグラフの形をあらわす増減表

やさしい微分積分
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《関数のグラフの形と微分係数》
　区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) の形を考える。
関数の微分係数によりグラフの傾きが求められる。グラフの各箇所の傾きが分かれば、各箇所の傾きからグラフの形が分かる。
　グラフの傾きｙ’＝ｆ’(x) からグラフの概形を求める方法として、以下の図に示す増減表でグラフをあらわす。

増減表は、上図の表のように、関数の独立変数ｘの値と、従属変数ｙの値と、関数の微分ｙ’の値とを表にしてグラフの概形をあらわす。

《有限の区間で定義された関数ｆ(x) の増減表》
　関数ｙ＝ｆ(x) が有限の区間で定義されている場合の関数の増減表は、関数ｙが区間の端では微分できないことに注意して以下の図のように書く。以下の図は、関数ｙ＝ｆ(x) の定義域が閉区間 [-2,2] の場合の増減表をあらわす。

上図の増減表で、区間の端の関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の欄は、上図のように区間の端の近傍でのｙ’の値をカッコ()付きで書くか、その欄を空欄にするか、あるいはその欄に斜線を引いてあらわす。

《関数の極大・極小》
　上図の関数ｆ(x) のグラフの点（－１，２）では、関数の値が増加から減少に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ａを堺目として増加から減少に移るとき、
　ｆ(x) はｘ＝ａで極大である、
と言い、ｆ(a) を極大値と呼ぶ。
上図のグラフの点（１，－２）では、関数の値が減少から増加に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ｂを堺目として減少から増加に移るとき、
　ｆ(x) はｘ＝ｂで極小である、
と言い、ｆ(b) を極小値と呼ぶ。
極大値と極小値をまとめて極値と呼ぶ。

　上図の関数のグラフでは、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの点で関数が極値を持った。しかし、以下の関数ｆ(x) の例に示すように、ｆ’(a)＝０となるｘ＝ａなるｘの点で関数が極値を持つとは限らない。

関数ｆ(x) に関して次のことが言える。
関数ｆ(x) がｘ＝ａで極値を取るならばｆ’(a)＝０である。
ｆ’(a) ＝０であっても、ｘ＝ａで極値を取るとは限らない。

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