積分とはなにか

やさしい微分積分
〔前のページ〕〔後ろのページ〕
【積分とは何か】
　関数 y = f(x) は閉区間 [a, b] で連続とする．
この区間を図のように (n-1) 個の点
ｘ１, ｘ２, … , ｘｎ－１
で n 個の小区間
[a,ｘ１], [ｘ１,ｘ２], … , [ｘｎ－１, b]
に分ける．それら小区間内にそれぞれ任意の点
ｔ１, ｔ２, … , ｔｎ　…①
をとって，和：
を作る．ただし、ａ＝ｘ0，ｂ＝ｘｎとする。
すべての小区間の長さが，いずれも 0 に近づくように n を限りなく大きくするとき， ①の点の位置のとり方にかかわらず， 和Ｓｎは一定の極限値に近づくことが知られている． この極限値を，関数 f(x) の区間 [a, b] における定積分といい
で表す．

リンク： 
やさしい微分積分
積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方
高校数学の目次
新型コロナウイルス感染対策

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

曲線の接線（基本公式）

イメージ
やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 《曲線の接線》 ｆ（ｘ）を微分可能な関数として、曲線ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける接線の方程式は、 ｙ＝ｆ’（ａ）（ｘ－ａ）＋ｆ（ａ） である。 この式で、ｆ’（ａ）とは、関数ｆ（ｘ）を微分した結果の関数ｆ’（ｘ）のｘ＝ａにおける値である。 この公式が成り立つ理由は、関数ｆ（ｘ）を微分した結果の関数ｆ’（ｘ）は曲線の傾きをあらわすからです。 また、接線は、曲線を局所的に近似した直線として定義されます。そのため、接線は、曲線の接点における傾きと同じ傾きを持ちます。 【問１】ｙ＝ｘ ２ の曲線の（ｘ＝１）となる点の接線を求めよ。 【解答】 ｆ（ｘ）＝ｘ ２ 微分の公式により ｆ’（ｘ）＝２・ｘ ｆ（１）＝１ ２ ＝１ ｆ’（１）＝２・１＝２ 接線の方程式は、 ｙ＝２（ｘ－１）＋１ （解答おわり） リンク：  やさしい微分積分 高校数学の目次
続きを読む

円と放物線の接線

イメージ
やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。 【問１】ｈの値を変えたとき、 放物線　ｙ＝ｘ ２ ／４＋ｈ　（式１） と、円　ｘ ２ ＋（ｙ－１） ２ ＝１　（式２） とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。 （解答の方針） なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。 （解答） （１） 接点（ｘ，ｙ）において、  式１から、 放物線　ｙ＝（ｘ ２ ／４）＋ｈ　　（式１’） 式２から、 円　ｘ ２ ＋（ｙ－１） ２ ＝１　（式２’）  （２） 式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、 ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２　（式３） （３） 式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、 法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、 ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１）　（式４） （４） 式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、 この式５を解くと、 ｘ＝０　（式６） ｏｒ ｙ－１＝－２　（式７）   式２から　－１≦ｙ－１≦１ であるので、式７は不適。 よって、式６のみが解である。   （５） 式６を式２に代入する。 （ｙ－１） ２ ＝１ （ｙ－１）＝±１ ｙ＝２ ｏｒ ｙ＝０   接点は、 （ｘ，ｙ）＝（０，０）　（式８） ｏｒ （ｘ，ｙ）＝（０，２）　（式９）   式８の場合に、式８を式１に代入する。 ｈ＝０ 式９の場合に、式９を式１に代入する。 ｈ＝２ よって 接点＝（０，０）でｈ＝０ ｏｒ 接点＝（０，２）でｈ＝２ （解答おわり） リンク： やさしい微分積分 高校数学の目次
続きを読む

放物線の２つの接線の交点のｘ座標は２接点の中間

イメージ
やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。 【問１】 　以下の図のように、点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。 （１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。 （２）式(1)の関係が成り立つこととを示せ。 リンク： やさしい微分積分 高校数学の目次
続きを読む