やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。 【問１】ｈの値を変えたとき、 放物線 ｙ＝ｘ ２ ／４＋ｈ （式１） と、円 ｘ ２ ＋（ｙ－１） ２ ＝１ （式２） とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。 （解答の方針） なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。 （解答） （１） 接点（ｘ，ｙ）において、 式１から、 放物線 ｙ＝（ｘ ２ ／４）＋ｈ （式１’） 式２から、 円 ｘ ２ ＋（ｙ－１） ２ ＝１ （式２’） （２） 式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、 ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２ （式３） （３） 式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、 法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、 ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１） （式４） （４） 式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、 この式５を解くと、 ｘ＝０ （式６） ｏｒ ｙ－１＝－２ （式７） 式２から －１≦ｙ－１≦１ であるので、式７は不適。 よって、式６のみが解である。 （５） 式６を式２に代入する。 （ｙ－１） ２ ＝１ （ｙ－１）＝±１ ｙ＝２ ｏｒ ｙ＝０ 接点は、 （ｘ，ｙ）＝（０，０） （式８） ｏｒ （ｘ，ｙ）＝（０，２） （式９） 式８の場合に、式８を式１に代入する。 ｈ＝０ 式９の場合に、式９を式１に代入する。 ｈ＝２ よって 接点＝（０，０）でｈ＝０ ｏｒ 接点＝（０，２）でｈ＝２ （解答おわり） リンク： やさしい微分積分 高校数学の目次
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