微分とは何か

やさしい微分積分
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《グラフの傾き》
　以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、ｘの実数全体の区間で連続な放物線の関数ｆ(x) を考える。下図の放物線のグラフy=ｆ(x) の各点での傾きを調べる。

　ｙ＝ｆ(x) の放物線のグラフの曲線の点Ｃでの傾きは、点Ｃでグラフの曲線に接する直線ＤＥの傾きと同じである。直線ＤＥの傾きは、その直線に平行な直線ＡＢの傾きと等しい。
すなわち、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２つの点ＡとＢを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２点を通る直線の傾きとして求めることができる。

　２点を定めて点Ｃでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、２点のうちの１つを点Ｃとし、もう１つの点を点Ｃの近くの曲線上の点Ｐとする方が計算がし易いので、その２点で計算する。

　上図のグラフで、点Ｃから点Ｐまで独立変数ｘが変化する幅をｘの増分と呼び、Δx とあらわす。
これに対応して点Ａから点Ｂまで従属変数ｙが変化する幅の、（点Ｐの高さ）－（点Ｃの高さ） をｙの増分と呼び、Δy とあらわす。
放物線の微小部分の傾きは、微小なｘの増分Δx に対する放物線の微小なｙの増分Δｙの比Δy／Δx としてあらわすことができる。
（注意：　Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。）

　上図のように、点Ｃと右の点Ｐ₂（Δx＞０）との傾きと、点Ｃと左の点Ｐ₁（Δx＜０）との傾きとはわずかに異なる。直線ＣＰ₂の傾きと、直線Ｐ₁Ｃの傾きとは、Δx を０に近くすればするほど、変化していく。そして、点Ｐが限りなく点Ｃに近づくと、直線ＣＰは点Ｃにおける接線ＤＥに近づいていく。
その直線ＣＰの傾きは、上図の式であらわすことができる。
　ここで、増分Δx をｈとあらわすことにする。そして、増分ｈを限りなく０に近づけた式は、以下の図の式であらわす。

点Ｃ(ｘ0，ｙ0) におけるこの式の極限値のことを、ｆ'(ｘ0)と表して、ｘ＝ｘ0の（数直線上の）点における微分係数という。

　ここで、点Ｃの左右の点を平等に考えて傾きを計算する。点Ｃ以外のもう１つの点のｘ座標は、ｘ0 より小さい値からｘ0 よりも大きい値までで傾きを計算する。
その計算ができるようにするために、微分係数を計算するｘ座標の値ｘ0 は関数ｆ(x) の区間の内部になければならない。つまり、値ｘ0は関数ｆ(x)の変数ｘの区間の端にあってはいけない。

【導関数とは何か】
　上記のように、区間で連続な関数f(x) のｘ＝ｘ0の（数直線上の）点における微分係数を１つ求めた。しかし、（数直線上の）各点における微分係数を毎回求めるのはかなり面倒なので、点Ｃを、関数ｆ(x)の区間の内部の任意の位置に移動したＣ(x,y)を考える。そして、その位置での微分係数ｆ’(x) を計算する。

ここで、ｆ(x) の区間の内部の変数ｘの開区間での全ての微分係数ｆ’(x) があらわす関数を、区間で連続な関数ｆ(x)の導関数と言う。導関数ｆ’(x) を求めることを、関数ｆ(x) を微分すると言う。
また、関数ｆ(x) のグラフをｙ=ｆ(x)であらわすとき、導関数ｆ'(x) をｄｆ／ｄｘと書くこともあり、ｙ’ と書くこともある。

【点Ｃでの微分係数が定まらない場合もある】
　ここで、点Ｃの左右の点を平等に考えて傾きを計算する場合に、左側の点Ｐ1 と点Ｃとを結ぶ直線が限りなく近づく直線の傾きと、点Ｃと右側の点Ｐ2 とを結ぶ直線が限りなく近づく直線の傾きが一致しない場合が起こり得る。
以下の図の関数ｆ(x)＝|x| のｘ＝０の点Ｏで、それがおきている。

その場合には、その点Ｏでは、微分係数が定まらず微分ができない。

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