やさしい微分積分

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 《関数のグラフの形と微分係数》 　区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) の形を考える。 関数の微分係数によりグラフの傾きが求められる。グラフの各箇所の傾きが分かれば、各箇所の傾きからグラフの形が分かる。 　グラフの傾きｙ’＝ｆ’(x) からグラフの概形を求める方法として、以下の図に示す 増減表 でグラフをあらわす。 増減表は、上図の表のように、関数の独立変数ｘの値と、従属変数ｙの値と、関数の微分ｙ’の値とを表にしてグラフの概形をあらわす。 《有限の区間で定義された関数ｆ(x) の増減表》 　関数ｙ＝ｆ(x) が有限の区間で定義されている場合の関数の増減表は、関数ｙが区間の端では微分できないことに注意して以下の図のように書く。以下の図は、関数ｙ＝ｆ(x) の定義域が閉区間 [-2,2] の場合の増減表をあらわす。 上図の増減表で、区間の端の関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の欄は、上図のように区間の端の近傍でのｙ’の値をカッコ()付きで書くか、その欄を空欄にするか、あるいはその欄に斜線を引いてあらわす。 《関数の極大・極小》 　上図の関数ｆ(x) のグラフの点（－１，２）では、関数の値が増加から減少に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ａを堺目として増加から減少に移るとき、 　ｆ(x) はｘ＝ａで 極大 である、 と言い、ｆ(a) を 極大値 と呼ぶ。 上図のグラフの点（１，－２）では、関数の値が減少から増加に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ｂを堺目として減少から増加に移るとき、 　ｆ(x) はｘ＝ｂで 極小 である、 と言い、ｆ(b) を 極小値 と呼ぶ。 極大値と極小値をまとめて 極値 と呼ぶ。 　上図の関数のグラフでは、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの点で関数が極値を持った。しかし、以下の関数ｆ(x) の例に示すように、ｆ’(a)＝０となるｘ＝ａなるｘの点で関数が極値を持つとは限らない。 関数ｆ(x) に関して次のことが言える。 関数...

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。 【問１】 　以下の図のように、点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。 （１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。 （２）式(1)の関係が成り立つこととを示せ。 リンク： やさしい微分積分 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。 【問１】ｈの値を変えたとき、 放物線　ｙ＝ｘ ２ ／４＋ｈ　（式１） と、円　ｘ ２ ＋（ｙ－１） ２ ＝１　（式２） とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。 （解答の方針） なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。 （解答） （１） 接点（ｘ，ｙ）において、  式１から、 放物線　ｙ＝（ｘ ２ ／４）＋ｈ　　（式１’） 式２から、 円　ｘ ２ ＋（ｙ－１） ２ ＝１　（式２’）  （２） 式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、 ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２　（式３） （３） 式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、 法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、 ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１）　（式４） （４） 式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、 この式５を解くと、 ｘ＝０　（式６） ｏｒ ｙ－１＝－２　（式７）   式２から　－１≦ｙ－１≦１ であるので、式７は不適。 よって、式６のみが解である。   （５） 式６を式２に代入する。 （ｙ－１） ２ ＝１ （ｙ－１）＝±１ ｙ＝２ ｏｒ ｙ＝０   接点は、 （ｘ，ｙ）＝（０，０）　（式８） ｏｒ （ｘ，ｙ）＝（０，２）　（式９）   式８の場合に、式８を式１に代入する。 ｈ＝０ 式９の場合に、式９を式１に代入する。 ｈ＝２ よって 接点＝（０，０）でｈ＝０ ｏｒ 接点＝（０，２）でｈ＝２ （解答おわり） リンク： やさしい微分積分 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 《曲線の接線》 ｆ（ｘ）を微分可能な関数として、曲線ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける接線の方程式は、 ｙ＝ｆ’（ａ）（ｘ－ａ）＋ｆ（ａ） である。 この式で、ｆ’（ａ）とは、関数ｆ（ｘ）を微分した結果の関数ｆ’（ｘ）のｘ＝ａにおける値である。 この公式が成り立つ理由は、関数ｆ（ｘ）を微分した結果の関数ｆ’（ｘ）は曲線の傾きをあらわすからです。 また、接線は、曲線を局所的に近似した直線として定義されます。そのため、接線は、曲線の接点における傾きと同じ傾きを持ちます。 【問１】ｙ＝ｘ ２ の曲線の（ｘ＝１）となる点の接線を求めよ。 【解答】 ｆ（ｘ）＝ｘ ２ 微分の公式により ｆ’（ｘ）＝２・ｘ ｆ（１）＝１ ２ ＝１ ｆ’（１）＝２・１＝２ 接線の方程式は、 ｙ＝２（ｘ－１）＋１ （解答おわり） リンク：  やさしい微分積分 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 【問題１】 　以下の式であらわす合成関数の微分の公式を証明せよ。 【解答】 （証明開始） 合成関数ｆ(g(x))をｈ(x)とあらわす。 関数ｆ(g) のｇによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。 そして、関数ｇ(x) のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。 その場合に、以下の式が成り立つ。 （証明おわり） リンク：  やさしい微分積分 合成関数の微分の公式の分かり易い証明 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 【問１】 以下の公式を導け。 （基本公式） （ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’ 【解答】 （証明開始） （証明おわり） 《基本公式の適用例》 （ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’     この基本公式から、以下のことが言えます。 ｄx/dx＝１が成り立つが、 （ｘ ２ ）’＝（ｘ・ｘ）’＝ｘ’・ｘ＋ｘ・ｘ’＝２ｘ （ｘ ３ ）’＝（ｘ・ｘ・ｘ）’＝ｘ’・（ｘ・ｘ）＋ｘ・ｘ’・ｘ＋（ｘ・ｘ）・ｘ’＝３ｘ ２ 同様にして （ｘ ４ ）’＝４ｘ ３ （ｘ ５ ）’＝５ｘ ４ 　が成り立つ。 以上の式で、微分の公式がいくつか求まった。 （解答おわり） リンク：  やさしい微分積分 微分の基本公式 高校数学の目次