やさしい微分積分

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 【チャレンジ問題２】難問です。時間をかけて解きましょう。 　以下の２つの式であらわされる円のグラフと放物線のグラフが接するｋの条件を求めよ。 この問題の解答はここをクリックした先にあります。 リンク： やさしい微分積分 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 《関数のグラフの形と微分係数》 　区間で連続な関数ｆ(x) のグラフｙ＝ｆ(x) の形を考える。 関数の微分係数によりグラフの傾きが求められる。グラフの各箇所の傾きが分かれば、各箇所の傾きからグラフの形が分かる。 　グラフの傾きｙ’＝ｆ’(x) からグラフの概形を求める方法として、以下の図に示す 増減表 でグラフをあらわす。 増減表は、上図の表のように、関数の独立変数ｘの値と、従属変数ｙの値と、関数の微分ｙ’の値とを表にしてグラフの概形をあらわす。 《有限の区間で定義された関数ｆ(x) の増減表》 　関数ｙ＝ｆ(x) が有限の区間で定義されている場合の関数の増減表は、関数ｙが区間の端では微分できないことに注意して以下の図のように書く。以下の図は、関数ｙ＝ｆ(x) の定義域が閉区間 [-2,2] の場合の増減表をあらわす。 上図の増減表で、区間の端の関数の微分ｙ’＝ｆ’(x) の欄は、上図のように区間の端の近傍でのｙ’の値をカッコ()付きで書くか、その欄を空欄にするか、あるいはその欄に斜線を引いてあらわす。 《関数の極大・極小》 　上図の関数ｆ(x) のグラフの点（－１，２）では、関数の値が増加から減少に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ａを堺目として増加から減少に移るとき、 　ｆ(x) はｘ＝ａで 極大 である、 と言い、ｆ(a) を 極大値 と呼ぶ。 上図のグラフの点（１，－２）では、関数の値が減少から増加に移る。そのように関数ｆ(x) がｘ＝ｂを堺目として減少から増加に移るとき、 　ｆ(x) はｘ＝ｂで 極小 である、 と言い、ｆ(b) を 極小値 と呼ぶ。 極大値と極小値をまとめて 極値 と呼ぶ。 　上図の関数のグラフでは、ｙ’＝ｆ’(x)＝０となるｘの点で関数が極値を持った。しかし、以下の関数ｆ(x) の例に示すように、ｆ’(a)＝０となるｘ＝ａなるｘの点で関数が極値を持つとは限らない。 関数ｆ(x) に関して次のことが言える。 関数...

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。 【問１】 　以下の図のように、点Ｐから放物線に引いた２つの接線の放物線との接点を点Ａと点Ｂとする。 （１）点Ａと点Ｂの中点のｘ座標が点Ｐのｘ座標と一致することを示せ。 （２）式(1)の関係が成り立つこととを示せ。 リンク： やさしい微分積分 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 　なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できる。 【問１】ｈの値を変えたとき、 放物線　ｙ＝ｘ ２ ／４＋ｈ　（式１） と、円　ｘ ２ ＋（ｙ－１） ２ ＝１　（式２） とが接する場合に、その接点（ｘ，ｙ）の値を求めよ。 （解答の方針） なめらかな曲線の接線は、微分によって初めて正しく定義できるので、微分により接線の式を計算して方程式を書く。 （解答） （１） 接点（ｘ，ｙ）において、  式１から、 放物線　ｙ＝（ｘ ２ ／４）＋ｈ　　（式１’） 式２から、 円　ｘ ２ ＋（ｙ－１） ２ ＝１　（式２’）  （２） 式１の放物線の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きｙ’は、式１の関数をｘで微分して計算し、 ｙ’＝２ｘ／４＝ｘ／２　（式３） （３） 式２の円の接点（ｘ，ｙ）における接線の傾きは、 法線の傾き（ｙ－１）／ｘの逆数に（－１）を掛け算したものであって、 ｙ’＝－ｘ／（ｙ－１）　（式４） （４） 式３と式４の接線の傾きｙ’の値が等しいので、 この式５を解くと、 ｘ＝０　（式６） ｏｒ ｙ－１＝－２　（式７）   式２から　－１≦ｙ－１≦１ であるので、式７は不適。 よって、式６のみが解である。   （５） 式６を式２に代入する。 （ｙ－１） ２ ＝１ （ｙ－１）＝±１ ｙ＝２ ｏｒ ｙ＝０   接点は、 （ｘ，ｙ）＝（０，０）　（式８） ｏｒ （ｘ，ｙ）＝（０，２）　（式９）   式８の場合に、式８を式１に代入する。 ｈ＝０ 式９の場合に、式９を式１に代入する。 ｈ＝２ よって 接点＝（０，０）でｈ＝０ ｏｒ 接点＝（０，２）でｈ＝２ （解答おわり） リンク： やさしい微分積分 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 《曲線の接線》 ｆ（ｘ）を微分可能な関数として、曲線ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ＝ａにおける接線の方程式は、 ｙ＝ｆ’（ａ）（ｘ－ａ）＋ｆ（ａ） である。 この式で、ｆ’（ａ）とは、関数ｆ（ｘ）を微分した結果の関数ｆ’（ｘ）のｘ＝ａにおける値である。 この公式が成り立つ理由は、関数ｆ（ｘ）を微分した結果の関数ｆ’（ｘ）は曲線の傾きをあらわすからです。 また、接線は、曲線を局所的に近似した直線として定義されます。そのため、接線は、曲線の接点における傾きと同じ傾きを持ちます。 【問１】ｙ＝ｘ ２ の曲線の（ｘ＝１）となる点の接線を求めよ。 【解答】 ｆ（ｘ）＝ｘ ２ 微分の公式により ｆ’（ｘ）＝２・ｘ ｆ（１）＝１ ２ ＝１ ｆ’（１）＝２・１＝２ 接線の方程式は、 ｙ＝２（ｘ－１）＋１ （解答おわり） リンク：  やさしい微分積分 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 【問題１】 　以下の式であらわす合成関数の微分の公式を証明せよ。 【解答】 （証明開始） 合成関数ｆ(g(x))をｈ(x)とあらわす。 関数ｆ(g) のｇによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。 そして、関数ｇ(x) のｘによる微分が存在する（確定した有限値になる）ものとする。 その場合に、以下の式が成り立つ。 （証明おわり） リンク：  やさしい微分積分 合成関数の微分の公式の分かり易い証明 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 【問１】 以下の公式を導け。 （基本公式） （ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’ 【解答】 （証明開始） （証明おわり） 《基本公式の適用例》 （ｆ・ｇ）’＝ｆ’・ｇ＋ｆ・ｇ’     この基本公式から、以下のことが言えます。 ｄx/dx＝１が成り立つが、 （ｘ ２ ）’＝（ｘ・ｘ）’＝ｘ’・ｘ＋ｘ・ｘ’＝２ｘ （ｘ ３ ）’＝（ｘ・ｘ・ｘ）’＝ｘ’・（ｘ・ｘ）＋ｘ・ｘ’・ｘ＋（ｘ・ｘ）・ｘ’＝３ｘ ２ 同様にして （ｘ ４ ）’＝４ｘ ３ （ｘ ５ ）’＝５ｘ ４ 　が成り立つ。 以上の式で、微分の公式がいくつか求まった。 （解答おわり） リンク：  やさしい微分積分 微分の基本公式 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 【問１】 　ｘの実数全体の区間で連続な以下の関数ｆ(x) の導関数を求めよ。 【解答】 以上の式で、微分の公式が１つ求まった。 （解答おわり） 【問２】 　ｘの実数全体の区間で連続な以下の関数ｆ(x) の導関数を求めよ。 【解答】 以上の式で、微分の公式が１つ求まった。 （解答おわり） リンク：  やさしい微分積分 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 《グラフの傾き》 　以下では、区間で連続な関数のグラフの傾きを考える。例えば、ｘの実数全体の区間で連続な放物線の関数ｆ(x) を考える。下図の放物線のグラフy=ｆ(x) の各点での傾きを調べる。 　ｙ＝ｆ(x) の放物線のグラフの曲線の点Ｃでの傾きは、点Ｃでグラフの曲線に接する直線ＤＥの傾きと同じである。直線ＤＥの傾きは、その直線に平行な直線ＡＢの傾きと等しい。 すなわち、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２つの点ＡとＢを結ぶ直線の傾きと等しい。このように、放物線の点Ｃでの傾きは、点Ｃの近くの曲線上の２点を通る直線の傾きとして求めることができる。 　２点を定めて点Ｃでの放物線の傾きを計算するときは、以下の図のように、２点のうちの１つを点Ｃとし、もう１つの点を点Ｃの近くの曲線上の点Ｐとする方が計算がし易いので、その２点で計算する。 　上図のグラフで、点Ｃから点Ｐまで独立変数ｘが変化する幅を ｘの増分 と呼び、Δx とあらわす。 これに対応して点Ａから点Ｂまで従属変数ｙが変化する幅の、（点Ｐの高さ）－（点Ｃの高さ） を ｙの増分 と呼び、Δy とあらわす。 放物線の微小部分の傾きは、微小なｘの増分Δx に対する放物線の微小なｙの増分Δｙの比Δy／Δx としてあらわすことができる。 （注意：　Δx やΔy は、これでまとまった記号で、Δ×(x)やΔ×(y) を意味するのではありません。そのため分母と分子のΔを約分してはいけません。） 　上図のように、点Ｃと右の点Ｐ 2 （Δx＞０）との傾きと、点Ｃと左の点Ｐ 1 （Δx＜０）との傾きとはわずかに異なる。直線ＣＰ 2 の傾きと、直線Ｐ 1 Ｃの傾きとは、Δx を０に近くすればするほど、変化していく。そして、点Ｐが限りなく点Ｃに近づくと、直線ＣＰは点Ｃにおける接線ＤＥに近づいていく。 その直線ＣＰの傾きは、上図の式であらわすことができる。 　こ...

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 【問１】 　以下の四角錐の体積を積分であらわし、積分の公式を求めよ。 【解答】 以上の式で、積分の公式が１つ求まった。 （解答おわり） リンク：  やさしい微分積分 高校数学の目次 新型コロナウイルス感染対策

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔次のページ〕 《 θ と、tanθ との大小関係》 　分割した要素の総和を考える例として、下図の点Ａまでの円弧の長さ θ と、長さｔａｎθ の点Ｔまでの垂直線の長さの大小関係を、 下図の平行線で分割した微小部分の大小関係から求めます。平行線で円弧θを切った部分の長さをΔθと表します。平行線で(1,0)の点から点Tまでの、長さがtanθの垂直な線分を切った部分の長さをΔ(tanθ)と表します。 円弧 θ を平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐ θ の長さよりも、垂直な線分ｔａｎθ を平行線で分割した微小ベクトルの平行線への射影成分Ｐ ｔ の長さの方が長い。そのため、円弧θを平行線で分割した微小ベクトルの長さΔθよりも、垂直な線分tanθを平行線で分割した微小ベクトルの長さΔ(tanθ)の方が長い。 その個々の微小ベクトルの長さの総和（積分）を考えることで、 θ ＜ｔａｎθ という大小関係が分かりました。 （大小関係の証明おわり） リンク：  やさしい微分積分 微分積分はどうすれば勉強できるか 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔後のページ〕 【覚えよう】 　以下の図を覚えておいて、Ｔ点の近くにＵ点が突出していると想像するように視線を運んで接弦定理を一瞬で想像できるようになりましょう。 そうすれば、この図形に接弦定理の条件が成立している部分があることを認識するよりも速く、接弦定理の結果を先行して一瞬で想像できるようになります。 リンク： やさしい微分積分 接弦定理を思い出す視線 高校数学の目次

やさしい微分積分 〔前のページ〕 〔後ろのページ〕 【積分とは何か】 　関数 y = f(x) は閉区間 [a, b] で 連続 とする． この区間を図のように (n-1) 個の点 ｘ １ , ｘ ２ , … , ｘ ｎ－１ で n 個の小区間 [a,ｘ １ ], [ｘ １ ,ｘ ２ ], … , [ｘ ｎ－１ , b] に分ける．それら小区間内にそれぞれ任意の点 ｔ １ , ｔ ２ , … , ｔ ｎ 　…① をとって，和： を作る．ただし、ａ＝ｘ 0 ，ｂ＝ｘ ｎ とする。 すべての小区間の長さが，いずれも 0 に近づくように n を限りなく大きくするとき， ①の点の位置のとり方にかかわらず， 和Ｓ ｎ は一定の極限値に近づくことが知られている． この極限値を，関数 f(x) の区間 [a, b] における定積分といい で表す． リンク：  やさしい微分積分 積分可能の定義と原始関数と不定積分の求め方 高校数学の目次 新型コロナウイルス感染対策

〔次のページ〕 《積分の概念の種》 　以下の問題を考えます。 【問題１】  　なぜ、三角錐の体積Ｖは、 体積Ｖ＝底面積Ｓ×高さｈ×（１／３） なのか。 　この公式は、何とか覚えられたと思いますが、 もっと、すっきり覚える方法が無いか？ と考えたことがあると思います。 　この問題は、以下の様に分析することができます。 この解に法則性があるように思われますが、 この問題は難しいので、これを解くための準備として、 この問題をもっとやさしくした以下の問題を先に解くことにします。 【問題２】 　なぜ、三角形の面積Ｓは、Ｓ＝底辺Ｌ×高さｈ×（１／２） なのか。 この問題ならば、上のような場合を考えて、解くためのヒントを見つけることができます。 この問題２で得られたヒントを拡張して、 以下の様に問題１を解析します。 【問題１（再）】 これは、以下のグラフの面積を分割して計算することに対応すると考えることができます。 （この計算で用いた２乗の数列の和の式はここをクリックした先のページにあります） 　このように問題を解析することで、後は、この２次関数のグラフの面積を与える法則性を把握すれば、この種の問題が自由に解けるようになることが理解できます。 　この様に、分割した要素の総計を求めてグラフの面積を計算する手法が積分という考え方です。 　もう１つ、分割した要素の総計を求める例を追加しておきます。 《グラフの微小増分の総和がグラフの高さになる》 上の図のように、グラフの傾きにΔｘを掛け算した要素は、グラフの高さの増分Δｙです。 上図のように、 グラフの高さの増分Δｙの総計＝グラフの高さｙ になります。 （グラフの微小部分の総和おわり）   《 θ と、tanθ との大小関係》 　分割した要素の総和を考える応用例として、下図の点Ａまでの円弧の長さ θ と、長さｔａｎθ の点Ｔまでの垂直線の長さの大小関係を、 下図の平行線で分割した微小部分の大小関係から求めます。平行線で円弧θを切った部分の長さをΔθと表します。平行線で(1,0)の点から点Tまでの、長さがtanθの垂直な線分を切った部分の長さをΔ(tanθ)と表します。 ...